Enunciado

Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !

Passo 1

Então galera, essa questão quer que a gente diga se essa séria é convergente ou divergente. Como fazemos isso pra uma série de somas parciais?

Podemos ver esse tipo de série é convergente ou divergente, avaliando as primeiras somas parciais. Já que não temos como somar até o infinito, podemos ir fazendo as primeiras somas e ver o padrão.

Se a sequência de somas parciais for convergente, então podemos dizer que a série é convergente. Se a primeira é divergente, a segunda também é. Vamos ver na prática!

Nossa sequência é:

s n = - 1 n - 1 n !

Para calcularmos os oito primeiros termos da sequência de somas parciais, teremos que fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 8 = s 7 + a 8

Se notarmos que a sequência está tendendo para um valor fixo, então a conclusão será de que a mesma é convergente. Caso contrário, então a conclusão será de que a mesma é divergente. Sem mais delongas, mãos à obra!

Passo 2

Calculando os termos da sequência, teremos:

s 1 = - 1 1 - 1 1 ! = 1

s 2 = 1 + - 1 2 - 1 2 ! = 0,5

s 3 = 0,5 + - 1 3 - 1 3 ! = 0,6667

s 4 = 0,6667 + - 1 4 - 1 4 ! = 0,625

s 5 = 0,625 + - 1 5 - 1 5 ! = 0,6333

s 6 = 0,6333 + - 1 6 - 1 6 ! = 0,6319

s 7 = 0,6319 + - 1 7 - 1 7 ! = 0,6321

s 8 = 0,6321 + - 1 8 - 1 8 ! = 0,6321

Podemos notar que a sequência tende para um valor em torno de 0,63 (um pouquinho maior). Sendo assim, a conclusão é de que a série é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !   é   c o n v e r g e n t e

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