Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 + 2 c o s θ

θ = π 3

Passo 1

Do enunciado temos:

r = 1 + 2 c o s θ

Lembrando das relações

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Fazemos:

x = 1 + 2 c o s θ c o s θ

y = 1 + 2 c o s θ s e n θ

Passo 2

Derivando x e y em relação a teta, temos:

d x d θ = 1 + 2 c o s θ - s e n θ + c o s θ ( - 2 s e n θ )

d y d θ = 1 + 2 c o s θ c o s θ + s e n θ ( - 2 s e n θ )

Passo 3

Porém, usando as relações do passo 2, fazemos:

d y d x = d y d θ d θ d x = 1 + 2 c o s θ c o s θ + s e n θ ( - 2 s e n θ ) 1 + 2 c o s θ - s e n θ + c o s θ ( - 2 s e n θ )

Passo 4

Porém, quando :   θ = π 3 temos:

d y d x = 1 + 3 2 ( - 3   )   - 3 - 3 2     = 2 - 3 - 2 3 - 3 = 3 9

Resposta

Para θ = π 3 a inclinação da reta tangente é 3 9 .

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