Enunciado

59. Prove o Teorema 4.1.3 para o caso em que f tem um valor máximo relativo em c .

Passo 1

Vamos olhar o que o teorema diz e prová-lo para o caso da questão.

Passo 2

O teorema 4.1.3 nos diz o seguinte:

“Se f ( x ) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto ( a , b ) e se f tiver um extremo relativo em c , onde a < c < b , então f ' c = 0 , se f ' ( c ) existir.”

Bem, no valor extremo de uma curva a derivada é zero, se c é o ponto para f atingir esse valor extremo, nesse ponto, a derivada será 0, certinho?

Passo 3

Como c é um ponto de máximo para a função, vamos tomar um exemplo para provar...

Digamos que f x = 4 - x 2 . O ponto de máximo dessa função será um valor c , porque é uma função contínua, então podemos achar seu ponto de máximo, ele existe.

Derivando e igualando a zero, temos

f ' x = - 2 x = 0

x = 0

Em x = 0 a derivada da função é zero, agora para provar que é ponto de máximo, derivar de novo e e avaliar o sinal.

f ' ' x = - 2

Como a segunda derivada é negativa, comprovamos que o ponto é de máximo.

Passo 4

Esse ponto onde f ' x = 0 é o nosso c , então c = 0 . Agora precisamos confirmar que f ' c = 0 . Como calculamos, f ' x = - 2 x .

Substituindo x = c = 0

f ' 0 = - 2.0 = 0

Provamos que, sendo c um ponto de máximo, f ' c = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Generalise os resultados obtidos nos exércícios 2 e 3
Suponha g derivável em [a,b] e seja m tal que g ’ ( a )mg ’ ( b ) . Prove que existe x em ]a,b[ tal g ’ ( c ) = m
Seja y = f ( x ) uma função derivável até a 2ª. Ordem no intervalo aberto I, tal que para todo x ∈ I f ' ' x + x f ' x - f x 2 = 0 f x ≠ 0 Verifique que f’’ é continua em I Prove que a função f não di
Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando Testes da Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere? f x = x -x 4
Se a função f x = x 3 + a x 2 + b x tem o valor mínimo local de - 2 9 3 em x = 1 / 3 , quais são os valores de a e b?Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclinação? f x = x 3 + a x 2 +