Enunciado

Use o método do exercício 33 e a indução matemática para provar que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.

Passo 1

Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema de Rolle diz. Seja f uma função tal que ela seja contínua em [ a , b ] , derivável em ( a , b ) e com f a = 0 e f b = 0 . Então existe um número c no intervalo aberto ( a , b ) tal que f ' c = 0 .

Passo 2

Agora vamos utilizar o processo de indução matemática.

Um polinômio de grau 1 tem 1 raiz real e um polinômio de grau 2 tem no máximo 2 raízes reais, ou seja, é verdadeiro quando n = 1 . Suponha que o resultado seja verdadeiro para um polinômio de grau k , ou seja, um polinômio de grau k tem no máximo k raízes reais.

Suponha agora que f ( x ) é um polinômio de grau k + 1 com k + 2 raízes reais: x 1 , … ,   x k + 2 e x 1 < … < x k + 2 .

Como o grau de f é k + 1 , o grau de f ' é k e f também será contínua e diferenciável em qualquer lugar, pois é uma função polinomial.

Seja j um número inteiro de 1 a k + 1 , como f x j = f x j + 1 = 0 , pelo teorema de Rolle, existe um número c j em ( x j , x j + 1 ) tal que f ' x j = 0 . Temos os números c 1 ,   … ,   c k + 1 com c 1 < … < c k + 1 de modo que f ' c 1 = … = f ' c k + 1 = 0 .

Portanto f ' é um polinômio de grau k que tem k + 1 raízes reais. Isso contradiz a hipótese de que um polinômio de grau k tem no máximo k raízes reais. Dessa forma, concluímos que um polinômio de grau k + 1 tem no máximo k + 1 raízes reais.

Como mostramos que o resultado é verdadeiro quando n = 1 e se é verdadeira quando n = k , então é verdade para n = k + 1 , segue-se do princípio da indução matemática que o resultado é verdadeiro para todo número inteiro positivo n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que sen ⁡ xx se 0x2 π .
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(f) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(b) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(i) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(j) f