Enunciado

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Generalise os resultados obtidos nos exércícios 2 e 3

Passo 1

Sempre temos que as derivadas são iguais a zero no ponto p , com excessão da derivada de ordem n . Ou seja,

f ' p = f ' ' p = … = f n - 1 p = 0  

f n p ≠ 0

Bem, nos vimos que sempre a derivada 3º ordens acima da derivada de ordem n é um ponto de inflexão no ponto p . E a 4º ordem acima é um ponto de máximo ou mínimo, com f n - 4 p = 0 o que faz com que a quinta seja outro ponto de inflexão e assim sucessivamente. Vamos esquematizar, para o caso f n p < 0 :

f n - 3 p → ponto de inflexão decrescente

f n - 4 p → ponto de máximo local

f n - 5 p → ponto de inflexão decrescente

f n - 6 p → ponto de máximo local

E assim sucessivamente. De forma que se n for par, f é um ponto de máximo ( caso f ( n ) < 0 ou minimo (caso f ( n ) > 0 ) . Se n   for impar, f é um ponto de inflexão, decrescente (caso f ( n ) < 0 ) ou crescente (caso f ( n ) > 0 ).

Resposta

Se n for par, f é um ponto de máximo ( caso f ( n ) < 0 ou minimo (caso f ( n ) > 0 ) . Se n   for impar, f é um ponto de inflexão, decrescente (caso f ( n ) < 0 ) ou crescente (caso f ( n ) > 0 ).

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