Enunciado

59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. Encontre f’’ em termos de g, g’ e g’’.59. f x = x g x 2 .

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão a gente precisa só precisa derivar duas vezes a função :

f ' x = d d x x ⋅ g x 2

Primeiro vamos usar a regra do produto:

d u v d x = u v ' + u ' v

Para derivar g ( x 2 ) precisamos usar a regra da cadeia, pois tem uma função dentro da outra, uma função composta:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra do produto:

d u v d x = u v ' + u ' v

f ' x = d d x x ⋅ g x 2 + d d x g x 2 ⋅ x

Para derivar g ( x 2 ) precisamos usar a regra da cadeia, pois tem uma função dentro da outra, uma função composta:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

f ' x = 1 ⋅ g x 2 + g ' x 2 ⋅ d d x x 2 ⋅ x

f ' x = 1 ⋅ g x 2 + g ' x 2 ⋅ 2 x ⋅ x

Então f ' x fica:

f ' x = g x 2 + 2 x 2 ⋅ g ' x 2

Passo 3

Agora é só derivar mais uma vez:

f ' ' x = d d x g x 2 + 2 x 2 ⋅ g ' x 2

A derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ' x = d d x g x 2 + d d x 2 x 2 ⋅ g ' x 2

Nós já calculamos essa primeira derivada ai, no Passo 1:

f ' ' x = g ' x 2 ⋅ 2 x + d d x 2 x 2 ⋅ g ' x 2

Pra resolver a outra derivada que sobrou, vamos usar a regra do produto:

f ' ' x = 2 x ⋅ g ' x 2 + d d x 2 x 2 ⋅ g ' x 2 + d d x g ' x 2 ⋅ 2 x 2

A primeira derivada é só a derivada de um polinômio:

f ' ' x = 2 x ⋅ g ' x 2 + 4 x ⋅ g ' x 2 + d d x g ' x 2 ⋅ 2 x 2

E a derivada que sobrou é resolvida pea regra da cadeia:

f ' ' x = 2 x ⋅ g ' x 2 + 4 x ⋅ g ' x 2 + g ' ' x 2 ⋅ d d x x 2   ⋅ 2 x 2

f ' ' x = 2 x ⋅ g ' x 2 + 4 x ⋅ g ' x 2 + g ' ' x 2 ⋅ 2 x   ⋅ 2 x 2

Colocando g ' x 2 e g ' ' x 2 em evidência:

f ' ' x = 6 x ⋅ g ' x 2 + 4 x 3 ⋅ g ' ' x 2

Pronto, obtemos a expressão desejada.

Resposta

f ' ' x = 6 x ⋅ g ' x 2 + 4 x 3 ⋅ g ' ' x 2

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