Enunciado

59-62 Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar as derivadas.

61- d d x ∫ x 0 t sec ⁡ t   d t

[Sugestão: Use a Definição 5.5.3 (b).]

Passo 1

Galera, a primeira coisa aqui é nós lembrarmos a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f for contínua em um intervalo, então f terá uma antiderivada nesse intervalo. Em particular, se a for um ponto qualquer desse intervalo, então a função f definida por

F x = ∫ a x f t   d t

É uma antiderivada de f nesse intervalo; isto é, F ´ x = f ( x ) para cada x desse intervalo, ou em uma notação alternativa

d d x ∫ a x f t   d t = f ( x )

Massss pera aêêê.... Antes de usarmos essa definição temos que inverter os extremos:

∫ b a f x   d x =   - ∫ a b f x   d x

Assim,

- d d x ∫ 0 x t sec ⁡ t   d t

Dessa forma,

d d x ∫ a x f t   d t = - x sec ⁡ x

Resposta

- x sec ⁡ x

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