Calcule a integral:

∫ - ln ⁡ 2 0 cosh 2 ⁡ x 2   d x  

Passo 1

Vamos usar a relação que diz que:

cosh 2 ⁡ x =   cosh ⁡ 2 x + 1 2

Aplicando na nossa integral, ficamos com:

∫ - ln ⁡ 2 0 cosh ⁡ x + 1 2 d x = 1 2 ∫ - ln ⁡ 2 0 cosh ⁡ x + 1 d x

Integrando, temos:

1 2 s e n h   x + x | 0 - l n 2  

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

1 2 s e n h   x + x | 0 - l n 2 = 1 2 ( s e n h   0 + 0 - ( s e n h   - l n 2 - ln ⁡ 2 ) )    

Sabemos que s e n h   x =   e x - e - x 2 , então vamos substituir e achar o valor da integral:

1 2 ( s e n h   0 - s e n h - l n 2 - ln ⁡ 2 ) = 1 2 e 0 - e - 0 2 - e - l n 2 - e ln ⁡ 2 2   ( - ln ⁡ 2 )   = 1 2 0 - 1 2 - 2 2 + ln ⁡ 2 = 1 2 ( 1 - 1 4 + ln ⁡ 2 )   = 3 8 + ln ⁡ 2

E pronto!

Resposta

3 8 + ln ⁡ 2

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