Enunciado

59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.

61. lim x → 0 ⁡ 1 x = + ∞

Passo 1

Da definição de limites infinitos temos o seguinte, galera:

lim x → a ⁡ f x = + ∞

Se, dado qualquer número positivo M , pudermos encontrar um número δ > 0 , tal que f x satisfaz:

f x > M   s e   0 < x - a < δ

Em outras palavras, utilizaremos essa definição para estabelecer uma relação entre δ e M . Ademais, a fim de facilitar nossa visualização, vamos colocar aqui embaixo os dados que temos:

f x = 1 x

a = 0

Show, então bora lá!

Passo 2

Substituindo os valores que temos:

1 x > M

x < 1 M

Mas só se:

0 < x < δ

Comparando os resultados, teremos que:

δ = 1 M

Em outras palavras, conseguimos encontrar uma relação entre δ e M que satisfaz as condições do problema, galera! Dessa forma, fica provado que, de fato, o limite está correto!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o limite lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Encontre o limite ou demonstre que ele não existe: lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ ( ln ⁡ x )
Seja f x =x - 1 ,x ≤ 3 3 x - 7 ,x3 Calcule: lim x → 3 - ⁡ f x
Seja F x = | x - 4 | . Calcule o limite indicado se existir. lim x → 4 + ⁡ F ( x )
Seja f x = 2 + | 5 x - 1 | . Calcule se existir. lim x → 1 / 5 + ⁡ f ( x )