Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x

Passo 1

Bom galera, pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim x → ∓ ∞ ⁡ a x b = 0

E tem outro caso também:

lim x → ∓ ∞ ⁡ x a b = ∞

Passo 2

Beleza, a gente pega a função dentro do limite e coloca em evidência o e 3 x , fica bem assim:

lim x → ∞ ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x → lim x → ∞ ⁡ e 3 x 1 - e - 3 x e 3 x e 3 x 1 + e - 3 x e 3 x

E a gente sabe que algo elevado á algo negativo, e pode ser escrito pelo inverso dele agora positivo:

lim x → ∞ ⁡ e 3 x 1 - e - 3 x e 3 x e 3 x 1 + e - 3 x e 3 x → lim x → ∞ ⁡ e 3 x 1 - 1 e 3 x ⋅ e 3 x e 3 x 1 + 1 e 3 x ⋅ e 3 x

Passo 3

Então, a gente elimina o termo igual que tá multiplicado encima e embaixo:

lim x → ∞ ⁡ e 3 x 1 - 1 e 3 x ⋅ e 3 x e 3 x 1 + 1 e 3 x ⋅ e 3 x → lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 e 3 x ⋅ e 3 x 1 + 1 e 3 x ⋅ e 3 x

E fazemos a multiplicação que sobrou assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 e 3 x ⋅ e 3 x 1 + 1 e 3 x ⋅ e 3 x → lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 e 6 x 1 + 1 e 6 x

Lembrando que em multiplicação de exponenciais a gente soma os expoentes.

Passo 4

Calma, agora lembra que a gente pode aplicar o limite separadamente em uma soma? Certo, então a gente já pode aplicar alguns limite dentro do parênteses que são iguais aqueles que eu falei no passo 1, fica:

lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 e 6 x 1 + 1 e 6 x → lim x → ∞ ⁡ 1 - 0 1 + 0

→ lim x → ∞ ⁡ 1 1

Passo 5

Por fim, a gente aplica o lime no que sobrou e a gente encontra a resposta:

lim x → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e 3 x - e - 3 x e 3 x + e - 3 x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes
Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes
Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes
Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 1 -⁡ 1 1 - x 2= ∞
Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 2 -⁡ 1 x - 2= - ∞