5-Seja f x ,   y = x y 3 x 2 + y 2 ,           x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x , y = ( 0,0 )                                          

Mostre que ∂^2 f / (∂x ∂y) (0, 0) ≠ ∂^2 f / (∂y ∂x) (0, 0)

Passo 1

Galera, vamos começar calculando as derivadas parciais no ponto 0   , 0 . Masss se lembrem que para usar as regras de derivação a função não poderia mudar de definição no ponto que nós queremos. (In)felizmente, temos a definição de derivadas parciais para nos salvar,né ?!

Nós vamos usar isso aqui:

∂ f ∂ x   x 0 ,   y 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 0 + ∆ x , y 0 - f x 0 ,   y 0 ∆ x

E

∂ f ∂ y   x 0 ,   y 0 = lim ∆ y → 0 ⁡ f x 0 , y 0 + ∆ y - f x 0 ,   y 0 ∆ y

Passo 2

Assim,

∂ f ∂ x 0 ,   0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x ,   0 - f 0 ,   0 ∆ x = l i m ∆ x → 0 x × 0 x 2 + 0 - 0 ∆ x = 0  

∂ f ∂ y 0 ,   0 = lim ∆ y → 0 ⁡ f 0 ,   y - f 0 ,   0 ∆ y = l i m ∆ y → 0 0 × y 3 0 + y 2 - 0 ∆ y = 0  

Passo 3

Já para x 0 ,   y 0 ≠ 0 ,   0 , podemos calcular as parciais pelas regras:

∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 = y 0 3 x 0 2 + y 0 2 - x 0 y 0 3 2 x 0 x 0 2 + y 0 2 2 = y 0 3 y 0 2 - x 0 2 x 0 2 + y 0 2 2

E

∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 = 3 x 0 y 0 2 x 0 2 + y 0 2 - x 0 y 0 3 2 y 0 x 0 2 + y 0 2 2 = x 0 y 0 2 3 x 0 2 + y 0 2 x 0 2 + y 0 2 2

Dessa forma,

∂ f ∂ x x ,   y = y 3 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,           x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x , y = ( 0,0 )                                          

∂ f ∂ y x ,   y = x y 2 3 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 ,           x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x , y = ( 0,0 )                                          

Gente, respira fundo, ainda não acabou, mas estamos quase lá!

Passo 4

Cara, para calcular ∂ 2 f ∂ y ∂ x   a gente usa aqui:

∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( 0,0 )

Mas de novo, vem aquele probleminha da nossa função mudar de definição no ( 0,0 ) (sério, já to de saco cheio disso!!!) então, o limite vai de novo nos salvar:

∂ ∂ y ∂ f ∂ x 0,0 = lim y → 0 ⁡ ∂ f ∂ x 0 ,   y - ∂ f ∂ x 0 ,   0 y - 0

Como nós já calculamos essa derivadas parciais lá em cima é só substituir no limite:

lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 - 0 0 + y 2 2 - 0 y - 0 = l i m y → 0 y 5 y 5 = 1

Agora, vamos ter que fazer a mesma coisa para ∂ 2 f ∂ x ∂ y (calma, estamos quase acabando):

∂ ∂ x ∂ f ∂ y 0,0 = lim x → 0 ⁡ ∂ f ∂ y x ,   0 - ∂ f ∂ y 0 ,   0 x - 0 = lim y → 0 ⁡ x × 0 3 x 2 + 0 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = 1

Só eu que estou imensamente feliz dessas derivadas parciais mistas terem dado diferentes?! Acho que não, né?!

Passo 5

Como ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 0 ,   0 ) = 0 e ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 0 ,   0 ) = 1 , ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0 ,   0 ≠ ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0 ,   0 .

Agora sim, fim!!!

Resposta

Demonstração acima.

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