Enunciado

60. Um tanque contém 100 litros de água pura e é despejada no tanque de água salgada contendo 2 kg de sal por litro, a uma taxa de 3 litros/min. A mistura, sendo agitada permentemente para se manter uniforme, escoa na mesma taxa. Quantos quilogramas de sal existirão no tanque ao final de 30 min?

Passo 1

Vamos organizar as taxas e estabelecer as condições iniciais, então montamos uma equação para o problema e matamos a questão encontrando a quantidade de sal.

Passo 2

Chamando de y a quantidade de sal no tanque após t min, temos que 2 kg/litro entram no tanque com taxa de 3 litros/min. Então:

2 k g l i t r o . 3 l i t r o m i n = 6 k g m i n (quantidade de sal por minuto)

E como a capacidade do tanque é 100 litros, após t min haverá y 100 kg de sal por litro.

Como a taxa de saída é também 3 litros/min, então saem 3 y 100 , ok?

Passo 3

Agora vamos escrever a variação de sal no tanque com o tempo, entram 6 k g m i n e saem 3 y 100 , olha se não dá pra escrever assim:

d y d t = 6 - 3 y 100

E podemos separar as variáveis...

d y d t = 600 - 3 y 100 (dividindo os dois lados por 3)

d y 3 d t = 200 - y 100

d y 200 - y = 3 d t 100

d y 200 - y = 0,03 d t

Com isso podemos integrar dos dois lados

Passo 4

Vamos à integral...

∫ d y 200 - y = ∫ 0,03 d t

- ln ⁡ 200 - y = 0,03 t + k ( k sendo uma constante)

Colocando e elevando os dois lados

200 - y = C e - 0,03 t ( C = e - k   , o u   s e j a   ,   o u t r a   c o n s t a n t e )

Passo 5

Agora, vamos buscar o valor de C

Para t = 0 , y = 0 , logo:

200 = C

A equação fica:

200 - y = C e - 0,03 t

y = 200 - 200 e - 0,03 t

Passo 6

Agora ficou moleza calcular o y

Queremos y após 30 min

y = 200 - 200 e - 0,03 t

y = 200 - 200 e - 0,03.30 = 118,7 k g

Acabou =]

Resposta

A quantidade de sal após 30 min será 118,7 k g .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos itens do exercício 1 , determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
Dada a função f x = 2 x 2 - 3 x - 2 , determinar os intervalos em que: f ' x0 f ' x0
Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: f x = x + 3 3
Dadas as funções f x = 5 - 2 x e g x = 3 x 2 - 1 , determinar: f 5 2 - f ' 5 2 g ' 5 2
Dadas as funções f x = 1 x - 1 e g x = 2 x 2 - 3 , determinar os itens que seguem e, usando uma ferramenta gráfica, fazer um esboço do gráfico das funções obtidas, identificando o seu domínio. f ∘ f '