Dada a função f(x) = 2x^2 - 3x - 2 , determinar os intervalos em que:

  1. f'(x) > 0
  2. f'(x) < 0

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x 2 - 3 x + ∆ x - 2 - 2 x 2 - 3 x - 2     ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - 3 x - 3 ∆ x - 2 - 2 x 2 + 3 x + 2   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x ∆ x + 2 ∆ x 2 - 3 ∆ x - 2 x 2   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 4 x ∆ x + 2 ∆ x 2 - 3 ∆ x   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 4 x + 2 ∆ x - 3 = 4 x + 2 ⋅ 0 - 3 = 4 x - 3

Passo 2

  1. Vamos agora analisar onde f ' x > 0 :
  2. f ' x > 0 → 4 x - 3 > 0 → x > 3 4

    A função é maior que zero no intervalo:

    3 4 , + ∞

    Passo 3

  3. E agora analisar onde f ' x < 0 :

f ' x < 0 → 4 x - 3 < 0 → x < 3 4

A função é menor que zero no intervalo:

- ∞ , 3 4

Resposta

  1. 3 4 , + ∞
  2. - ∞ , 3 4
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