Enunciado

Em cada um dos itens do exercício 1 , determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

Passo 1

Vamos lá, para o item 1 a com x = 1 :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = 1,0 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = 2 , assim:

m n = - 1 m = - 1 2

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f 1 = - 1 2 x - 1 → y - 0 = - 1 2 x - 1 → y = - x 2 + 1 2

O gráfico fica:

Passo 2

Agora para x = 0 :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = 0 , - 1 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = 0 , assim a reta tangente é horizontal e a reta normal coincide com o eixo y , ou seja, x = 0 .

O gráfico fica:

Passo 3

E por último para x = a :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = a , a 2 - 1 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = 2 a , assim:

m n = - 1 m = - 1 2 a

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f a = - 1 2 a x - a → y - a 2 - 1 = - 1 2 a x - a →

y - a 2 + 1 = - x 2 a + 1 2 → y = - x 2 a + 1 2 + a 2 - 1 → y = - x 2 a - 1 2 + a 2

Para x = a não podemos representar em um gráfico, pelo fato de a ser um valor genérico.

Passo 4

Vamos lá, para o item 1 b com x = - 1 :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = - 1 , 1 0 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = - 5 , assim:

m n = - 1 m = - 1 - 5 = 1 5

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f - 1 = 1 5 x - - 1 → y - 1 0 = 1 5 x + 1 →

y = x 5 + 1 5 + 10 → y = x 5 + 5 1 5

O gráfico fica:

Passo 5

Agora para x = 2 :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = 2 , 4 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = 1 , assim:

m n = - 1 m = - 1 1 = - 1

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f 2 = - 1 x - 2 → y - 4 = - 1 x - 2 → y = - x + 2 + 4 →

y = - x + 6

O gráfico fica:

Passo 6

Vamos lá, para o item 1 c com x = 1 2 :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = 1 2 , - 7 4 são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = - 2 , assim:

m n = - 1 m = - 1 - 2 = 1 2

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f 1 2 = 1 2 x - 1 2 → y - - 7 4 = 1 2 x - 1 2 →

y = x 2 - 1 4 - 7 4 → y = x 2 - 2

O gráfico fica:

Passo 7

E por último para x = a :

A equação da reta normal é:

y - y 0 = m n x - x 0

Onde x 0 , y 0 = a , 3 a 2 - 5 a são pontos da reta, m n = - 1 m e m é a derivada da curva aplicada no ponto pedido.

Sabemos que m = 6 a - 5 , assim:

m n = - 1 m = - 1 6 a - 5 = 1 - 6 a + 5 ,   a ≠ 5 6

Agora é só substituir na equação:

y - y 0 = m n x - x 0 → y - f a = 1 - 6 a + 5 x - a → y - 3 a 2 - 5 a = 1 - 6 a + 5 x - a → y - 3 a 2 + 5 a = x - a - 6 a + 5 → y = x - a - 6 a + 5 + 3 a 2 - 5 a

Para x = a não podemos representar em um gráfico, pelo fato de a ser um valor genérico.

Resposta

1 a com x = 1 : y = - x 2 + 1 2

1 a com x = 0 : x = 0

1 a com x = a : y = - x 2 a - 1 2 + a 2

1 b com x = - 1 : y = x 5 + 51 5

1 b com x = 2 : y = - x + 6

1 c com x = 1 2 : y = x 2 - 2

1 c com x = a : y = x - a - 6 a + 5 + 3 a 2 - 5 a

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →