Enunciado

61. Um tanque contém 60 litros de água salgada com 120 kg de sal dissolvido. É despejada no tanque água salgada contendo 3 kg de sal por litro, a uma taxa de 2 litros/min. A mistura é agitada para manter-se uniforme, e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto tempo irá levar para que restem no tanque 135 kg de sal?

Passo 1

Vamos montar uma equação que descreva o escoamento do sal pra poder calcular o tempo que a questão pede.

Passo 2

Podemos chamar de x a quantidade de sal no tanque t min depois que o escoamento começa. Entra no tanque 3kg de sal por litro à 2 litros/min, então:

3 k g L . 2 L m i n = 6 k g m i n (quantidade de sal/min que entra)

Como a capacidade do tanque são 60 litros, saem 2 x 60 , pois a taxa de saída também é 2 litros/min. Inicialmente temos 120kg ( t = 0 ) e queremos o tempo para que x = 135 .

Passo 3

Podemos escrever a equação pra variação de x com t :

d x d t = 6 - 2 x 60 30

d x d t = 180 - x 30

Separando variáveis...

d x 180 - x = d t 30

Agora podemos integrar dos dois lados

Passo 4

Resolvendo as integrais:

∫ d x 180 - x = ∫ d t 30

- l n ⁡ 180 - x + l n C = t 30

Colocando e   elevando dos dois lados...

180 - x = C e - t 30

Passo 5

Para achar C , lembrar que x = 120 quando t = 0 .

180 - x = C e - t 30

180 - 120 = C . 1

C = 60

Então...

180 - x = 60 e - t 30

x = 180 - 60 e - t 30

Agora é tranquilo

Passo 6

Queremos t para que x = 135 :

x = 180 - 60 e - t 30

135 = 180 - 60 e - t 30

- 45 = - 60 e - t 30

0,75 = e - t 30

Tirando l n ...

l n 0,75 = - t 30

t = 8,63   m i n u t o s

Acabou :D

Resposta

t = 8,63   m i n u t o s

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Dado que f 3 = - 1 e f ' 3 = 5 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = 3 .
Se for dada uma equação da reta tangente no ponto a , f a de uma curva y = f x , como poderíamos calcular f ' a ?Dado que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto 2,5 é y = 3 x - 1 ,
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 3 + 1 ; a = - 1
Use o gráfico de y = f x na figura abaixo para obter uma estimativa do valor de f ' 1 , f ' 3 , f ' 5 e f ' 6 .
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x + 1 ; a = 8