Enunciado

65. A figura em anexo mostra o gráfico da derivada de uma função h que está definida e é contínua no intervalo - ∞ ,   + ∞ . Suponha que o gráfico de h ' tenha uma assíntota vertical em x = 3 e que:

h ' x → 0 +   q u a n d o   x → - ∞

h ' x → - ∞   q u a n d o   x → + ∞

a) Quais são os pontos críticos de h ( x ) ?

b) Identifique os intervalos em que h x é crescente.

c) Identifique as coordenadas x dos extremos relativos de h x e classifique-os como máximo ou mínimo relativos.

d) Dê uma estimativa das coordenadas x dos pontos de inflexão de h x .

Passo 1

a) Então galera, a dificuldade dessa questão é que devemos imaginar um gráfico h x tendo informações de h ' x , logo, precisamos relembrar do significado da derivada primeira no gráfico de uma função. Quando a derivada é > 0 então ela é dita crescente, e quando a derivada é < 0 ela é dita decrescente. Os pontos críticos da nossa função h x serão os pontos no qual y = 0 no gráfico que nos foi dado, uma vez que é o gráfico da derivada.

Observando o gráfico com cuidado podemos observar que isso acontece nos pontos:

x = 1

x = 2,5

x = 4

Como a função não está definida em x = 3 , então esse valor também é um ponto crítico.

Passo 2

b) Nossa função h x será crescente quando h ' x > 0 , certo? Sendo assim, os intervalos que isso ocorre será nas partes em que a curva está acima do eixo x , ou seja, em y positivo. Se observarmos o gráfico, notaremos que isso ocorre em:

( - ∞ ,   1 ]

Além de:

2,5 ; 3

Fora desses intervalos a função é negativa, ou seja, decrescente.

Passo 3

c) Para encontrarmos os pontos de extremos relativos, dado um gráfico de h ' x , temos que analisar o sinal da derivada nos pontos críticos, galera! Os pontos críticos foram descobertos no passo 1 , certo? Então vamos utiliza-los!

Para x = 1 temos que:

x < 1 → D e r i v a d a   p o s i t i v a

x > 1 → D e r i v a d a   n e g a t i v a

Se a derivada estava crescendo e começou a decrescer, então x = 1 é ponto de máximo.

Para x = 2,5 temos que:

x < 2,5 → D e r i v a d a   n e g a t i v a

x > 2,5 → D e r i v a d a   p o s i t i v a

Se a derivada estava decrescendo e começou a crescer, então x = 2,5 é ponto de mínimo.

Para x = 4 a função não muda de sinal, então não podemos concluir nada sobre isso, assim como não podemos dizer nada sobre x = 3 .

Passo 4

d) Então pessoal, os pontos de inflexão em um gráfico de derivada são os pontos de pico (máximo ou mínimo) da derivada. Vale ressaltar que alguns pontos são leves e sutis, a ponto de as vezes não conseguirmos perceber, mas isso não vai acontecer nesse gráfico, então let’s go!

Observando o gráfico com cuidado podemos observar que há um pequeno pico em x = 0,6 . Também há um pico em aproximadamente x = 1,9 e, por fim, há um pico em x = 4 . Logo, nossos possíveis pontos de inflexão estão em:

x = 0,6

x = 1,9

x = 4

E está aí nossa resolução, pessoal!

Resposta

a) x = 1 ,   x = 2,5 ,   x = 3   e   x = 4

b) - ∞ ,   1 ∪ 2,5 ; 3

c) x = 1 é ponto de máximo e x = 2,5 é ponto de mínimo.

d) x = 0,6 ,   x = 1,9   e   x = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)