Enunciado

68-a) Em qual intervalo aberto a fórmula

F x = ∫ 1 x 1 t 2 - 9 d t

representa uma antiderivada de

f x = 1 x 2 - 9   ?

b)Encontre um ponto em que o gráfico de F cruza o eixo x .

Passo 1

a)Galerinha, nós sabemos que a função 1 x 2 - 9 está definida no seguinte intervalo:

- ∞ , - 3   U   - 3,3   U   ( 3 ,   + ∞ )

Também sabemos que:

∫ 1 x 2 - 9 = F x

Resolvendo essa integral:

1 x 2 - 9 = 1 x + 3 × 1 x - 3 = ∫ A x - 3 + B x + 3

A x + 3 + B ( x - 3 ) x - 3 ( x + 3 ) = A + B x + 3 ( A - B ) x - 3 ( x + 3 )

A + B = 0 A - B = 1 3

Logo,

A = 1 6

B = - 1 6

Assim,

∫ 1 x 2 - 9 = 1 6 ∫ 1 x - 3 d x - 1 6 ∫ 1 x + 3 d x

= 1 6 ln  x - 3 ⁡ - 1 6 ln ⁡ x + 3

Ou seja,

1 6 ln  x - 3 ⁡ - 1 6 ln ⁡ x + 3 + C = ∫ 1 x 1 t 2 - 9 d t

Bom, nós precisamos descobrir qual é o valor da constante, certo ? Para isso precisamos de valor de x .... Que tal 1   ???

Assim,

1 6 ln ⁡ - 2 - 1 6 ln ⁡ 4 + C = ∫ 1 1 1 t 2 - 9 d t

1 6 ln ⁡ 2 4 + C = 0

C = - 1 6 ln ⁡ 2 4 = 1 6 ln ⁡ 4 2

Então, o maior intervalo contendo x = 1 , para o qual f ( x ) está definida é ( - 3 ,   3 ) .

Passo 2

b)O ponto em que F cruza o eixo x é quando temos F = 0 , certo ?

O que quer dizer que:

∫ 1 x 1 t 2 - 9 d t = 0

1 6 ln ⁡ t - 3 - 1 6 ln ⁡ t + 3 1 x

Caraaa, nós estamos trabalhando com módulo, certo ? No intervalo que nós achamos no item a, t - 3 seria negativo, mas como temos o módulo ficaria algo assim:

- t - 3 = 3 - t

Assim,

1 6 ln ⁡ ( 3 - x ) - 1 6 ln ⁡ ( x + 3 ) - ( 1 6 ln ⁡ - 2 - 1 6 ln ⁡ 4 ) = 0

1 6 ln ⁡ 3 - x x + 3 = 1 6 ln ⁡ 2 4

e l n 3 - x x + 3 1 / 6 = e ln ⁡ 2 4 1 6

3 - x x + 3 1 6 = 2 4 1 6

3 - x x + 3 = 1 2

6 - 2 x = x + 3

- 3 x = - 3

x = 1

Resposta

  1. ( 0 ,   + ∞ )
  2. x = 1
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