Enunciado

49-52. Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x .

50. y = s e n   x ; 0 , 3 π 2

Passo 1

Então pessoal, antes de escrevermos a integral que temos que calcular vamos esboçar a curva que nos foi dada, tudo bem? Vale lembrar que a curva tem um intervalo, então é limitada! A curva que nos foi dada é:

y = s e n   x

E o intervalo é: 0 , 3 π 2 . Esboçando a região:

Note que temos duas áreas: A 1 e A 2 . Sendo assim, teremos as seguintes integrais para resolver:

A 1 = ∫ 0 π s e n   x d x

A 2 = - ∫ π 3 π 2 s e n   x d x

Logo:

A = A 1 + A 2 = ∫ 0 π s e n   x d x - ∫ π 3 π 2 s e n   x d x

Então vamo que vamo!

Passo 2

Vale ressaltar que as integrais que escrevemos possuem o mesmo integrando, então o resultado de uma será o mesmo da outra, o que poupa nosso tempo! De acordo com o que estudamos em derivadas a função que quando derivada resulta em s e n   x é - cos ⁡ x , logo:

A = - cos ⁡ x π 0 + cos ⁡ x 3 π 2 π

Agora que resolvemos as integrais, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

A = 2 + 1

∴ A = 3   u . a

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

A = 3   u . a

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13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.29. ∫ 1 4 1 t - 3 t d t