Enunciado

29- Um grande copo contendo 60 ml de suco de laranja está sendo reabastecido com mais suco. A figura Ex-29 mostra a taxa segundo a qual o suco está sendo vertido no copo em mililitros por segundo (ml/s). Mostre que a taxa de variação média do volume de suco no copo durante esses 5s é igual ao valor médio da taxa de fluxo do suco para dentro do copo.

Passo 1

Galerinhaaa, para descobrirmos a taxa de variação média do volume de suco no copo temos que descobrir a área da figura apresentada entre o gráfico da taxa de suco e o eixo do tempo. E olhem só.... Temos a figura de um trapézio, assim:

S = 5 + 2 × 40 2 = 140   m l

Mas esse é o valor total da quantidade de suco que foi transferida para dentro do copo. Para acharmos a média dessa variação é necessário dividirmos esse resultado pelo tempo total. Dessa forma,

140 5 = 28   m l

Passo 2

Para descobrirmos o valor médio da taxa do suco para dentro do copo, temos primeiro que determinar a função descrita pelo gráfico. Temos, então:

y = 40 t ,   0 ≤ x ≤ 1 40 ,   1 ≤ x ≤ 3 - 20 x + 100 ,   5 ≤ x ≤ 3

Agora nós temos que usar a seguinte definição de valor médio:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Dessa forma,

1 5 ( ∫ 0 1 40   x   d x + ∫ 1 3 40   d x + ∫ 3 5 - 20 x + 100   d x )

Resolvendo as integrais:

1 5 40 x 2 2 0 1 + 40 x 1 3 +   - 20 x 2 2 + 100 x 3 5

1 5 20 + 80 + 40 = 28   m l

Amiguíneos, o nosso b - a = ( 5 - 0 ) que é a subtração dos nossos último e primeiro extremos de integração, respectivamente, pois esse é o intervalo que comporta a nossa função, 0 ,   5 . Fechou ?!

Portanto, temos que que a taxa de variação média do volume de suco no copo durante esses 5s é igual ao valor médio da taxa de fluxo do suco para dentro do copo.

Resposta

Demonstração acima.

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