Enunciado

69-73. A noção de assíntota pode ser estendida para incluir curvas não necessariamente retas. Especificamente, dizemos que as curvas y = f ( x ) e y = g x são assintóticas quando x → + ∞ se:

lim x → + ∞ ⁡ f x - g x = 0

E assintóticas quando x → - ∞ se:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - g x = 0

Nesses exercícios, determine uma função g ( x ) mais simples, tal que y = f ( x ) seja assintótica a y = g ( x ) quando x → + ∞ ou x → - ∞ . Use um recurso gráfico para gerar os gráficos de y = f ( x ) e de y = g ( x ) e identifique todas as assíntotas verticiais.

71. f x = - x 3 + 3 x 2 + x - 1 x - 3

Passo 1

Então pessoal, a princípio não se trata de uma questão tão simples de se interpretar, precisamos de bastante cuidado para não seguirmos caminhos errados aqui, ok? O que a questão quer é que encontremos uma função f x que seja assintótica quando x → + ∞ ou quando x → - ∞ . Como vamos descobrir essa função? Então, a saída mais tranquila é realizando a divisão de polinômios e em seguida caracterizando uma parte do resultado como a g x . Ficou complicado? Prometo que vai facilitar, se liga:

f x = - x 3 + 3 x 2 + x - 1 x - 3

Dividindo os polinômios, teremos que:

f x = - x 2 + 1 + 2 x - 3

Sendo assim, como f x deve ser assintótica, vamos chamar:

g x = - x 2 + 1

Até aqui tudo bem? Show de bola, bora continuar!

Passo 2

Utilizando o limite que o enunciado nos indica, teremos:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - g x = 0

lim x → ± ∞ ⁡ f x - - x 2 + 1 = 0

Sendo assim, podemos concluir que f x é assintótica para y = - x 2 + 1 . Ademais, só há uma assíntota vertical no gráfico da função, que é em x = 3 . Plotando isso, teremos:

No qual a função em verde é y = f x e a função pontilhada é y = g ( x ) .

Resposta

g x = - x 2 + 1

Assíntota vertical: x = 3

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