Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2

Vamos fazer aparecer um seno usando a fórmula do cosseno do arco duplo. Pega a idéia:

c o s α = 1 - 2 s e n 2 α 2

Essa é ótima porque vai fazer aparecer dois senos, ou seja, já vai ter quase o limite fundamental! Aplicando essa fórmula, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 - 2 1 - 2 s e n 2 x 2 + 1 - 2 s e n 2 x x 2

Arrumando,

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 4 s e n 2 x 2 - 2 s e n 2 x x 2

Agora vamos separar em dois limites:

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = 4 lim x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x 2 - 2 lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 2

Passo 3

Vamos ajeitar cada um dos limites pra ficar igual ao fundamental:

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = 4 × 1 2 2 lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 2 2 - 2 lim x → 0 ⁡ s e n x x 2

Prontinho, ficaram só os fundamentais!

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = 4 1 2 2 - 2

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = - 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 c o s x + c o s 2 x x 2 = - 1

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