Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 3 ⁡ x - 3 c s c ⁡ ( π x )

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

Primeiro lembra o que é a cossecante:

csc ⁡ π x = 1 s e n π x

Substituindo lá no limite:

lim x → 3 ⁡ x - 3 c s c ⁡ ( π x ) = lim x → 3 ⁡ x - 3 s e n π x

Como que a gente faz aparecer o limite fundamental? Precisamos primeiro ter o π em cima junto do x , então vamos multiplicar em cima e embaixo.

lim x → 3 ⁡ x - 3 c s c ⁡ ( π x ) = 1 π lim x → 3 ⁡ π x - 3 π s e n π x

E agora o que falta? Só estar igualzinho ali embaixo. É aí que entra a beleza da função seno. O que acontece se a gente subtrair 3 π ali dentro do seno?

s e n π x - 3 π = s e n π x cos ⁡ 3 π + s e n 3 π cos ⁡ π x

s e n π x - 3 π = s e n π x × ( - 1 ) + 0 × cos ⁡ π x

s e n π x - 3 π = - s e n ( π x )

Então é só a gente trocar o sinal que fica show!

Passo 3

O limite fica assim:

lim x → 3 ⁡ x - 3 csc ⁡ π x = - 1 π lim x → 3 ⁡ π x - 3 π s e n π x - 3 π

Pronto, agora aquele limite já virou o limite fundamental, que vale 1 ! Assim:

lim x → 3 ⁡ x - 3 csc ⁡ π x = - 1 π

Resposta

lim x → 3 ⁡ x - 3 csc ⁡ π x = - 1 π

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