Enunciado

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .

7. z = (x - y)^5 , x = s^2 t , y = s t ²

Passo 1

Para encontrarmos (del z)/(del s) e (del z)/(del t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(del z)/(del s) = (del z)/(del x) (del x)/(del s) + (del z)/(del y) (del y)/(del s)

(del z)/(del t) = (del z)/(del x) (del x)/(del t) + (del z)/(del y) (del y)/(del t)

As derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del s) são:

(del z)/(del x) = 5 (x - y)^4

(del x)/(del s) = 2 s t

(del z)/(del y) = - 5 (x - y)^4

(del y)/(del s) = t ²

E as derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del t) são:

(del z)/(del x) = 5 (x - y)^4

(del x)/(del t) = s ²

(del z)/(del y) = - 5 (x - y)^4

(del y)/(del t) = 2 s t

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para (del z)/(del s) :

(del z)/(del s) = 5 (x - y)^4 . 2 s t - 5 (x - y)^4 . t ²

:. (del z)/(del s) = 5 t (x - y)^4 [2 s - t]

Para (del z)/(del t) :

(del z)/(del t) = 5 (x - y)^4 . s^2 - 5 (x - y)^4 . 2 s t

:. (del z)/(del t) = 5 s (x - y)^4 [s - 2 t]

Resposta

(del z)/(del s) = 5 t (x - y)^4 [2 s - t]

(del z)/(del t) = 5 s (x - y)^4 [s - 2 t]

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