Enunciado

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .

4. z = sqrt(1 + x y) , x = tan t , y = a r c tan t

Passo 1

Para encontrarmos (d z)/(d t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) (d x)/(d t) + (del z)/(del y) (d y)/(d t)

Derivando, teremos:

(del z)/(del x) = (1)/(2) (1 + x y)^(- (1)/(2)) . y = (y)/(2 sqrt(1 + x y))

(d x)/(d t) = s e c^2 t

(del z)/(del y) = (1)/(2) (1 + x y)^(- (1)/(2)) . x = (x)/(2 sqrt(1 + x y))

(d y)/(d t) = (1)/(1 + t ²)

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

(d z)/(d t) = (y)/(2 sqrt(1 + x y)) . s e c^2 t + (x)/(2 sqrt(1 + x y)) . (1)/(1 + t ²)

:. (d z)/(d t) = (1)/(2 sqrt(1 + x y)) (y . s e c^2 t + (x)/(1 + t^2))

Resposta

(d z)/(d t) = (1)/(2 sqrt(1 + x y)) (y . s e c^2 t + (x)/(1 + t^2))

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