Enunciado

73. Se a ≠ 0 e n for um inteiro positivo, encontre a decomposição em frações parciais de

f x = 1 x n ( x - a )

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa questão! Temos que decompor a seguinte função em frações parciais:

f x = 1 x n ( x - a )

Como temos um termo de grau n , as coisas vão ficar assim ó:

1 x n ( x - a ) = A 1 x + A 2 x 2 + … + A n x n + B x - a

Beleza?!

Passo 2

Temos que decobrir quem é A 1 ,   A 2 ,   … ,   A n e B . Colocando tudo sobre o mesmo denominador, temos:

1 x n ( x - a ) = A 1 x ⋅ x n - 1 ( x - a ) x n - 1 ( x - a ) + A 2 x 2 ⋅ x n - 2 ( x - a ) x n - 2 ( x - a ) + … + A n x n ⋅ x - a x - a + B x - a ⋅ x n x n

Assim:

1 = A 1 x n - 1 x - a + A 2 x n - 2 x - a + … + A n x - a + B x n

Agora, podemos determinar os valores dos coeficientes é A 1 ,   A 2 ,   … ,   A n e B resolvendo um sistema de equações. Uma maneira de fazer isso é escolher valores convenientes para x   que anulem a maioria dos termos, facilitando a resolução do sistema.

Repara que temos x - a multiplicando em quase todas as parcelas da soma, podemos então fazer:

x = a

Assim teremos:

1 = A 1 x n - 1 a - a + A 2 x n - 2 a - a + … + A n a - a + B a n

Então:

1 = B a n

  B = 1 a n

Vamos guardar um pouco essa informação e voltar para nossa expressão de f ( x ) :

f ( x ) = A 1 x + A 2 x 2 + … + A n x n + B x - a

Logo:

f x - B x - a = A 1 x + A 2 x 2 + … + A n x n

Mas a gente também sabe que:

f x = 1 x n ( x - a )  

  B = 1 a n

Então:

f x - B x - a = 1 x n x - a - 1 a n x - a

f x - B x - a = a n - x n x n a n x - a

Isto é:

f x - B x - a = - x n - a n x n a n x - a

Passo 3

Usando a fatoração:

x n - a n = x - a x n - 1 + x n - 2 a + … + x a n - 2 + a n - 1

Nossa expressão fica o seguinte:

f x - B x - a = - x - a x n - 1 + x n - 2 a + … + x a n - 2 + a n - 1 x n a n x - a

Como x ≠ a :

f x - B x - a = - x n - 1 + x n - 2 a + … + x a n - 2 + a n - 1 x n a n

Dessa maneira:

f x - B x - a = - x n - 1 a n x n + x n - 2 a n x n + … + x a n - 2 a n x n + a n - 1 a n x n

Mas sabemos qual o valor de B :

B = 1 a n

Portanto,

f x = 1 a n ( x - a ) - x n - 1 a n x n + x n - 2 a n x n + … + x a n - 2 a n x n + a n - 1 a n x n

Resposta

f x = 1 a n ( x - a ) - x n - 1 a n x n + x n - 2 a n x n + … + x a n - 2 a n x n + a n - 1 a n x n

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