Enunciado

73- Prove o Teorema do Valor Médio para Integrais (Teorema 5.6.2) aplicando o Teorema do Valor Médio (4.8.2) a uma antiderivada de F de f .

Passo 1

Galera, o Teorema do valor Médio (4.8.2) nos diz o seguinte:

Seja f contínua no intervalo fechado [ a , b ] e diferenciável no intervalo aberto ( a ,   b ) . Então existe pelo um ponto c , tal que

f ´ c = f b - f a b - a

Dito isto, nós temos a seguinte expressão:

∫ a b f x   d x = F ( x )

Pelo TVM, sabemos que existe c   ϵ   [ a ,   b ] tal que:

f c = F a - F b b - a

Gente, só pra deixar claro que o nosso f ( c ) é a derivada da função para x = c , só não tem o (‘) porque é a função que estava na nossa integral, ok ? Mas ela corresponde ao f ´ ( c ) do nosso TVM.

Assim,

F b - F a = f c ( b - a )

Que é o Teorema do Valor Médio para integrais, beleza ?!

Fim!

Até a próxima.

Resposta

Demonstração acima.

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