Enunciado

9-14. Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

12. ∑ n = 1 ∞ 7 n + 1 10 n

Passo 1

Então pessoal, a questão nos pede várias coisas, então vamos tratar a questão com calma, passo a passo, ok? De início, o enunciado nos pede para calcular pelo menos dez somas parciais da série. Para calcularmos essas somas parciais, devemos fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 9 = s 8 + a 9

s 10 = s 9 + a 10

Mas o que seriam esses termos? De forma genérica, temos que uma série é descrita da seguinte forma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n

No qual s n é sua n-ésima soma parcial e a n é a sequência de termos. No nosso caso, temos:

s n = ∑ n = 1 ∞ 7 n + 1 10 n ⇒ a n = 7 n + 1 10 n

Passo 2

Botando em prática o conceito abordado no passo anterior, teremos:

s 1 = 7 1 + 1 10 1 = 4,9

s 2 = 4,9 + 7 2 + 1 10 2 = 8,33

s 3 = 8,33 + 7 3 + 1 10 3 = 10,73100

s 4 = 10,73100 + 7 4 + 1 10 4 = 12,41170

s 5 = 12,41170 + 7 5 + 1 10 5 = 13,58819

s 6 = 13,58819 + 7 6 + 1 10 6 = 14,41173

s 7 = 14,41173 + 7 7 + 1 10 7 = 14,98821

s 8 = 14,98821 + 7 8 + 1 10 8 = 15,39175

s 9 = 15,39175 + 7 9 + 1 10 9 = 15,67422

s 10 = 15,67422 + 7 10 + 1 10 10 = 15,87196

Passo 3

Ok, descobrimos as dez somas parciais da série, galera! Antes de plotarmos o gráfico vamos prestar atenção na sequência dos termos a n . Concorda que a expressão se parece muito com uma série geométrica? Uma série geométrica tem o seguinte formato:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Se manipularmos a n , teremos:

a n = 7 n + 1 10 n

a n = 7 n . 7 1 10 n = 7 . 7 10 n

Disso tiramos que r = 0,7 < 1 , então a série é convergente.

Passo 4

Já tivemos spoiler no passo anterior, mas se plotarmos o gráfico, teremos:

No qual os pontos em azul são referentes às somas parciais da série e os pontos em vermelho são referentes aos valores da sequência de termos. Pelo gráfico podemos notar que os pontos da sequência de termos se aproxima de 0 , o que é um indicativo de que a série é convergente. Ademais, os pontos das somas parciais tendem a um valor específico, que é em torno de 16 , aproximadamente, que é mais um indicativo de que a série é convergente. Por fim, se calcularmos a soma da série, teremos:

∑ n = 1 ∞ 7 . 7 10 n = a 1 - r = 4,9 1 - 0,7 = 49 3 ≈ 16,333 …

Que é mais uma prova de que, de fato, a série é convergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 7 n + 1 10 n   é   c o n v e r g e n t e

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