Enunciado

93. Ache área da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sec 2 ⁡ x   e   y = t g 2 x .

Passo 1

Nesse caso sabemos que a área da região requerida será dada pela integral definida da função que está por cima menos a função que está por baixo.

Os limites de integração de x pode ser obtido , um fazendo a intersecção das curvas dadas e o outro utilizando a informação do próprio enunciado quando ele fala que a região é limitada pelo eixo y, ou seja, pela reta x = 0.

Para determinar qual função está por cima e qual está por baixo poderíamos fazer um esboço da região num programa de computador na internet ou mediante a um conhecimento prévio dos gráficos de funções trigonométricas.

Passo 2

O esboço de uma parte região em questão pode ser obtida por meio do programa GeoGebra Online e é o seguinte:

Passo 3

Fazendo a intersecção das duas curvas dada para obter os limites de integração de x temos:

y = sec 2 ⁡ x   e   y = 2 t g 2 x

y = y

sec 2 ⁡ x = 2 t g 2 x      

1 c o s x = 2 s e n x c o s x  

s e n x = 1 2

a r c s e n s e n x = a r c s e n 2 2

x =   π 4

Sendo assim os limites de integração da região em questão é de x = 0 até x =   π 4 .

Passo 4

Logo, área requerida pelo enunciado pode ser calculada da seguinte forma :

A = ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ x - 2 t g 2 x ) d x = ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ x - 2 ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ) d x = ∫ 0 π 4 ( 2 - sec 2 ⁡ x ) d x = 2 x - t a n x ] 0 π 4 = π 2 - 1

Resposta

A = π 2 - 1

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