Enunciado

93) Se o domínio de f for o conjunto de todos os números reais e se f for contínua em 0, prove que se f a + b = f a + f b para todo a e b, então f será contínua em todo número.

Passo 1

Seja t   um número real, onde f ( t ) existe por hipótese. Se   f é contínua em t nos temos que

lim x → t ⁡ f x = f t .

Para f a + b = f a + f ( b ) podemos escrever que

f x = f t + x - t = f t + f ( x - t )

Então se o limite existe,

lim x → t ⁡ f x = lim x → t ⁡ f t + lim x → t ⁡ f x - t

lim x → t ⁡ f x = f t + lim x → t ⁡ f x - t (I)

Sendo f contínua em 0:

lim x → t ⁡ f x - t = f [ lim x → t ⁡ f x - t ] = f 0 (II)

Subsituindo (II) em (I):

lim x → t ⁡ f x = f t + f ( 0 ) (III)

Para obter f(0) nós aplicamos f a + b = f a + f ( b ) com a = b = 0

f 0 = f 0 + f 0 ; f 0 = 0

Substituindo em (III)

lim x → t ⁡ f x = f t

Então concluímos que f é contínua em todo   t .

Resposta

A função f , tal que f a + b = f a + f b para todo a e b , será contínua em todo número.

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