Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (6) d y d x = x + x y - y .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = x + x y - y y - y d y = x + x d x ∫ y - y d y = ∫ x + x d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ y - y d y = ∫ x + x d x ∫ y 1 / 2 - y d y = ∫ x 1 / 2 + x d x y 3 2 3 2 - y 2 2 + K 1 = x 3 2 3 2 + x 2 2 + K 2 2 3 y 3 / 2 - y 2 2 = 2 3 x 3 2 + x 2 2 + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

2 3 y 3 2 - y 2 2 = 2 3 x 3 2 + x 2 2 + K

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Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. 1 - x y ' ' - 4 x y ' + 5 y = cos ⁡ x
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