Achar o comprimento da circunferência

x = a cos ⁡ t y = a   s e n   t , t ∈ [0,2pi]

Passo 1

O comprimento da circunferência é dado por:

s = ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2 d t

Temos que as derivadas de x e y são:

x ' = - a   s e n   t ;

y ' = a cos ⁡ t .

Passo 2

Substituindo as derivadas calculadas na equação de comprimento de circunferência, temos:

s = ∫ 0 2 π - a   s e n   t 2 + a cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 2 π a 2 s e n 2 t + a 2 cos 2 ⁡ t d t

Como:

s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1

Temos:

s = ∫ 0 2 π a 2 s e n 2 t + a 2 cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π a 2   d t = a ∫ 0 2 π d t

Passo 3

Integrando:

s = a ∫ 0 2 π d t = a ⋅ t

Aplicando os limites:

s = a ⋅ t = a ⋅ 2 π - 0 = 2 π a

Resposta

2 π a   u . c

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