Ache o comprimento do arco da parábola y = x^2 de (0,0) a (1,1) .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = x 2 , então f ' x = 2 x   →       f ' x 2 = 4 x 2 .

Já o intervalo de integração será de x = 0 até x = 1 , abscissas dos pontos dados no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = ∫ 0 1 1 + 4 x 2 d x = ∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão ( 2 x ) 2 + 1 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser 2 x = tan ⁡ θ .

Passo 4

Façamos então a substituição:

2 x = tan ⁡ θ 2 d x = sec 2 ⁡ θ d θ     →       d x = 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ  

Dessa forma, ( 2 x ) 2 = tan 2 ⁡ θ     →     ( 2 x ) 2 + 1 = tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 5

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 0 → 0 = tan ⁡ θ →       θ = 0 x = 1 → 2 = tan ⁡ θ →         θ = tan - 1 ⁡ 2

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x = ∫ 0 tan - 1 ⁡ 2 sec 2 ⁡ θ 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 2 sec 3 ⁡ θ d θ

Agora, para resolver essa integral, nós podemos utilizar integração por partes ou a fórmula de redução:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x           para       n = 3

Ficamos então, com:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C , temos:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | 2 + C

Prontinho!

Passo 6

Agora vamos resolver a definida substituindo a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

L = 1 2 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 2 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 2 0 tan - 1 ⁡ 2

L = 1 4 sec ⁡ tan - 1 ⁡ 2 tan ⁡ tan - 1 ⁡ 2 + ln ⁡ sec ⁡ tan - 1 ⁡ 2 + tan ⁡ tan - 1 ⁡ 2 - 0

Este é o resultado, mas vamos simplificar usando a relação:

sec ⁡ tan - 1 ⁡ x = x 2 + 1

Ficamos então com:

L = 1 4 2 2 + 1 ⋅ 2 + ln ⁡ 2 2 + 1 + 2 = 1 4 2 5 + ln ⁡ ( 5 + 2 )

Sendo assim, o comprimento é L = 1 4 2 5 + ln ⁡ ( 5 + 2 )     u . c

Resposta

L = 1 4 2 5 + ln ⁡ ( 5 + 2 )     u . c

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