Enunciado

Achar os valores extremos de z =   2 x y sujeitos à condição x + y =   2 .

Passo 1

Beleza, o que nós queremos aqui é o ponto máximo ou mínimo para função dada, com a seguinte condição:

s . a .                         x + y =   2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                                                       2 x y

s . a .                                                       x + y =   2  

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 2 x y - λ ( x + y -   2 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ   e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 y - λ = 0

∂ L ∂ y = 2 x - λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( x + y - 2 ) = 0

Na primeira equação obtemos:

λ = 2 y

Colocando na segunda:

λ = 2 x

2 y = 2 x

x = y

Terminamos colocando este resultado na terceira:

x + y - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

Ou seja:

x = y = 1

Então o extremo da nossa função é o ponto ( 1 ,   1 ) !

Mais uma finalizadaa !!

Resposta

( 1 ,   1 )

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