Enunciado

Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:

58) z = 2 x + y ;   x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo ou mínimo, mas sabendo que x 2 + y 2 = 4 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   x 2 + y 2 = 4

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                             2 x + y

s . a .                                                   x 2 + y 2 = 4

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 2 x + y - λ ( x 2 + y 2 - 4 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 - 2 λ x = 0

∂ L ∂ y = 1 - 2 λ y = 0

∂ L ∂ λ = - ( x 2 + y 2 - 4 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = 2 y

Colocando na última equação:

( 2 y ) 2 + y 2 - 4 = 0

5 y 2 - 4 = 0

y = ± 2 5 = ± 2 5 5

Substituindo no x:

x = 2 ± 2 5 5 = ± 4 5 5  

Então nós teremos dois pontos:

4 5 5 ,   2 5 5   e   - 4 5 5 ,   - 2 5 5

Passo 3

Para saber qual é o máximo e qual é o mínimo basta substituir na função:

z = 2 x + y

Para o ponto 4 5 5 ,   2 5 5 :

z = 2 4 5 5 + 2 5 5 = 4,47

Para o ponto - 4 5 5 ,   - 2 5 5 :

z = 2 - 4 5 5 - 2 5 5 = - 4,47

Sendo assim:

4 5 5 ,   2 5 5 → M á x i m o  

- 4 5 5 ,   - 2 5 5 → M í n i m o

Gostaram?

Resposta

4 5 5 ,   2 5 5 → M á x i m o  

- 4 5 5 ,   - 2 5 5 → M í n i m o

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