Enunciado

Ache (d y)/(d x)

Passo 1

Sabendo que y = t a n e^(3 x) + e^(t a n 3 x) ,

(d y)/(d x) será:

(d)/(d x) (t a n e^(3 x) + e^(t a n 3 x))

Nessa questão podemos dividir a derivada em duas pela regra da soma, vamos chama-las de g ' e h ' :

g^' = (d)/(d x) t a n e^(3 x)

h^' = (d)/(d x) e^(t a n 3 x)

Passo 2

Resolvendo g’:

g^' = (d)/(d x) t a n ( e^(3 x) )

Precisaremos usar a regra da cadeia (d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x) :

Onde:

y = tan (u)

u = e^(3 x)

E suas derivadas serão:

(d)/(d u) (tan (u)) = sec^2 (u)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:

= s e c^2 ( u ) e^(3 x) * 3

Substituindo u:

g ' = s e c^2 ( e^(3 x) ) e^(3 x) * 3

Passo 4

Agora resolveremos h ' :

h^' = (d)/(d x) e^(t a n 3 x)

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e^u

u = tan (3 x)

Passo 5

Suas derivadas serão:

(d)/(d u) (e^u) = e^u

E para essa outra fazemos mais uma regra da cadeia:

Onde:

f = tan (u)

u = 3 x

Passo 6

As derivadas serão:

(d)/(d u) ( t a n ( u ) ) = s e c^2 ( u )

(d)/(d x) ( 3 x ) = 3

Logo, para essa regra da cadeia

= s e c^2 ( u ) * 3

Substituindo u:

= sec^2 (3 x) * 3

Passo 7

Retomando a regra da cadeia do Passo 4:

= e^u sec^2 (3 x) * 3

Substituindo o u temos:

h ' = e^(tan (3 x)) sec^2 (3 x) * 3

Passo 8

E finalmente para achar a derivada que queremos somamos g ' e h ' :

= s e c^2 ( e^(3 x) ) e^(3 x) * 3 + e^(tan ( 3 x )) s e c^2 ( 3 x ) * 3

Resposta

(d y)/(d x) = s e c^2 ( e^(3 x) ) e^(3 x) * 3 + e^(tan ( 3 x )) s e c^2 ( 3 x ) * 3

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