Ache dy / dx

Passo 1

Sabendo que y = t a n   e 3 x + e t a n   3 x ,

  d y d x será:

d d x   t a n   e 3 x + e t a n   3 x

Nessa questão podemos dividir a derivada em duas pela regra da soma, vamos chama-las de g ' e h ' :

g ' = d d x t a n   e 3 x

h ' =   d d x   e t a n   3 x

Passo 2

Resolvendo g’:

g ' = d d x t a n ⁡ ( e 3 x )

Precisaremos usar a regra da cadeia d f ( u ) d x = d f d u ⋅ d u d x :

Onde:

y = tan ⁡ u

u = e 3 x

E suas derivadas serão:

d d u tan ⁡ u = sec 2 ⁡ u

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:

= s e c 2 ⁡ ( u ) e 3 x ⋅ 3

Substituindo u:

g ' = s e c 2 ⁡ ( e 3 x ) e 3 x ⋅ 3

Passo 4

Agora resolveremos h ' :

h ' =   d d x   e t a n   3 x

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e u

u = tan ⁡ 3 x

Passo 5

Suas derivadas serão:

d d u e u = e u

E para essa outra fazemos mais uma regra da cadeia:

Onde:

f = tan ⁡ u

u = 3 x

Passo 6

As derivadas serão:

d d u ( t a n ⁡ ( u ) ) = s e c 2 ⁡ ( u )

d d x ( 3 x ) = 3

Logo, para essa regra da cadeia

= s e c 2 ⁡ ( u ) ⋅ 3

Substituindo u:

= sec 2 ⁡ 3 x ⋅ 3

Passo 7

Retomando a regra da cadeia do Passo 4:

= e u sec 2 ⁡ 3 x ⋅ 3

Substituindo o u temos:

h ' = e tan ⁡ 3 x sec 2 ⁡ 3 x ⋅ 3

Passo 8

E finalmente para achar a derivada que queremos somamos g ' e h ' :

= s e c 2 ⁡ ( e 3 x ) e 3 x ⋅ 3 + e tan ⁡ ( 3 x ) s e c 2 ⁡ ( 3 x ) ⋅ 3

Resposta

d y d x = s e c 2 ⁡ ( e 3 x ) e 3 x ⋅ 3 + e tan ⁡ ( 3 x ) s e c 2 ⁡ ( 3 x ) ⋅ 3

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