Encontredy / dx usando derivação logarítmica:

y = x \* raiz(1 + x^2, 3)

Passo 1

Nem sempre a solução da diferenciação de uma derivada é trivial, mas, se aplicarmos o logaritmo natural em ambos os lados e usarmos suas propriedades, podemos derivar uma função complexa utilizando as propriedades de logaritmo.

Vamos analisar a função dada:

y = x 1 + x 2 3

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( x 1 + x 2 ) 3

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + l n 1 + x 2 3

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 3 l n 1 + x 2

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 3 l n 1 + x 2

d ln ⁡ y d x = d d x ln ⁡ x + 1 3 l n 1 + x 2

Derivando temos:

1 y . d y d x =   1 x + 2 x 3 ( 1 + x 2 )

Para eliminar o termo 1 y que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

d y d x =   1 x + 2 x 3 1 + x 2 . [ x 1 + x 2 3 ]

Resposta

d y d x =   1 x + 2 x 3 1 + x 2 . [ x 1 + x 2 3 ]

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