Enunciado

Encontre (d y)/(d x) :

y = ln (ln (x))

Passo 1

A primeira coisa que devemos observar aqui é á estrutura da nossa função, basicamente é uma função dentro da outra, certo?

Mas, o que fazemos quando isso acontece? Para isso, usamos a Regra da Cadeia que é uma fórmula para derivada de um função composta de duas funções.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

(f (g (x))^')

y = ln (ln (x))

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = l n ( g (x) )

u = g (x) = l n ( x )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f (u) = l n ( u )

u = l n ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

(d y)/(d u) = (1)/(u)

E derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = (1)/(x)

Agora, é só aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia. Bora lá?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . (1)/(x)

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = (1)/(l n ( x )) . (1)/(x)

Reorganizando as fórmulas:

(d y)/(d x) = (1)/(x . l n ( x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(x . l n ( x ))

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