Encontre dy / dx :

y = ln(ln(x))

Passo 1

A primeira coisa que devemos observar aqui é á estrutura da nossa função, basicamente é uma função dentro da outra, certo?

Mas, o que fazemos quando isso acontece? Para isso, usamos a Regra da Cadeia que é uma fórmula para derivada de um função composta de duas funções.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = ln ⁡ ln ⁡ x

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = l n ⁡ ( g x )

u = g x = l n ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = l n ⁡ ( u )

u = l n ⁡ ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

d y d u = 1 u

E derivando u em relação a x :

d u d x = 1 x

Agora, é só aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia. Bora lá?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = 1 u . 1 x

Substituindo u em d y d u :

d y d x = 1 l n ⁡ ( x ) . 1 x

Reorganizando as fórmulas:

d y d x = 1 x . l n ⁡ ( x )

Resposta

d y d x = 1 x . l n ⁡ ( x )

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