Enunciado

Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ 2 4 x 2 = 56 3

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ 2 4 x 2 d x = f χ 4 - 2

⇒ 56 3 = 2 f χ

⇒ f χ = 56 3 ⋅ 2 = 28 3

Mas f χ = χ 2 , então isso nos leva a:

χ 2 = 28 3 ⇒ χ = ± 28 3

Como estamos no intervalo [ 2 ,   4 ] , χ não pode ser negativo, então chegamos ao valor

χ = 28 3 = 4 ⋅ 7 3 = 2 7 3 ≈ 3,06

Passo 3

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 2 no intervalo [ 2,4 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( 2,0 ) a ( 4,0 ) e altura igual a f 2 7 3 = 28 3 .

Note que a integral tem valor A 2 + A 3 e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 .

Resposta

χ = 28 3

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