Enunciado

Ache d y para:

y = sqrt(4 - x^2)

Passo 1

Questão bem direta, pessoal. Vamos precisar derivar essa função, apenas isso. Lembrando que d y = y ' d x , ok?

Analisando a função y , verificamos que é uma composição de funções polinomiais, então a ideia é usar a regra da cadeia sucessivamente.

Primeiro vamos fazer a seguinte manipulação:

y = sqrt(4 - x^2) = (4 - x^2)^((1)/(2))

Agora vamos derivar por fora primeiro (o polinômio) utilizando a fórmula (x^n) ' = n x^(n - 1) .

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

(u^n) ' = (n u^(n - 1)) * u '

Passo 2

No nosso exemplo, y = underset(u)(ubrace ( 4 - x^2 ))^((1)/(2)) , logo u = 4 - x^2 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada para n = (1)/(2) , ficando com:

y ' = [(4 - x^2)^((1)/(2))] ' = (1)/(2) (4 - x^2)^((1)/(2) - 1) ( 4 - x^2 ) '

y ' = (1)/(2) (4 - x^2)^(- (1)/(2)) ( 4 - x^2 ) '

Aqui vamos usar (4 - x^2)^' = - 2 x .

y ' = (1)/(2) (4 - x^2)^(- (1)/(2)) ( - 2 x )

y ' = (- x)/(sqrt(4 - x^2))

Passo 3

Vamos substituir y ' em d y = y ' d x .

d y = (- x)/(sqrt(4 - x^2)) d x

Prontinho.

Resposta

d y = (- x)/(sqrt(4 - x^2)) d x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cada função f(x) varia quando x varia de x 0 para x 0 + d x . Determine :a variação Δ f = f x 0 + d x - f ( x 0 ) o valor da estimativa d f = f ' x 0 d x o erro de aproximação |Δ f - d f | f x =2 x 2+
Cada função f(x) varia quando x varia de x 0 para x 0 + d x . Determine :a variação Δ f = f x 0 + d x - f ( x 0 ) o valor da estimativa d f = f ' x 0 d x o erro de aproximação |Δ f - d f | f x = x 3-2
Cada função f(x) varia quando x varia de x 0 para x 0 + d x . Determine :a variação Δ f = f x 0 + d x - f ( x 0 ) o valor da estimativa d f = f ' x 0 d x o erro de aproximação |Δ f - d f | f x = x 4,
Cada função f(x) varia quando x varia de x 0 para x 0 + d x . Determine :a variação Δ f = f x 0 + d x - f ( x 0 ) o valor da estimativa d f = f ' x 0 d x o erro de aproximação |Δ f - d f | f x =x 3-x
Determine dy.y = c o t g^(- 1) ((1)/(x^2)) + cos^(- 1) 2 x