Determine dy.

y = cot^(-1)(1 / x^2) + cos^(-1)(2x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

A função contém uma soma, então a gente deriva cada “pedaço” e soma normalmente.

Primeiramente, o que é c o t g - 1   e c o s - 1 ?

Vamos lá, sempre que elevamos algo a -1 determinamos a inversa, certo?

Então, c o t g - 1 nada mais é que a função inversa da cotangente, a arco cotangente. E c o s - 1 é a função inversa do cosseno, a arco cosseno.

Vamos reescrever a função então...

y = a r c c o t g 1 x 2 + arccos ⁡ 2 x

E como que deriva a r c c o t g   x e a r c c c o s   x   ??

Bom, a regra é a seguinte: a r c c o t g   x ' =   - 1 1 + x 2 e ( arccos ⁡ x ) =   - 1 1 - x 2 .

Usando a Regra da Cadeia então, vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y ' =   - 1 1 + 1 x 2 2   × 1 x 2 ' + - 1 1 - 2 x 2 × ( 2 x ) '

Fazendo as derivadas que faltam...

y ' = - 1 1 + 1 x 2 2   × ( - 2 x 3 ) + - 1 1 - 4 x 2 × 2

Pronto, essa é a derivada pedida. Mas se você quiser simplificar...

Resposta

Simplificando você chega nisso:

d y = 2 x 4 + 1 - 2 / ( 1 - 4 x 2 )

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