Enunciado

Se f (x) + x^2 [f (x)]^3 = 10 e f (1) = 2 , ache f ' ( 1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de f no ponto x = 1 , sabendo que

f (x) + x^2 [f (x)]^3 = 10

E

f (1) = 2

Observe que f ( x ) é dada implicitamente como função de x e que temos o valor de f em um ponto.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a equação implicitamente e substituir x = 1 na derivada.

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar (d y)/(d x) de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

(d)/(d x) { f (x) + x^2 [f (x)]^3 } = (d)/(d x) ( 10 )

Assim, derivando implicitamente em relação a x , temos:

f^' (x) + 2 x * [f (x)]^3 + x^2 * 3 [f (x)]^2 * f ´ (x) = 0

Repare que aplicamos a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação do termo x^2 [f (x)]^3 .

E que a derivada do lado direito é zero, porque estamos derivando uma constante.

Beleza, agora vamos colocar f^' ( x ) em evidência:

f^' (x) (1 + 3 x^2 [f (x)]^2) + 2 x [f (x)]^3 = 0

Passo 3

Então, substituindo x = 1 , temos:

f^' (1) (1 + 3 * ( 1 )^2 * [f (1)]^2) + 2 * ( 1 ) * [f (1)]^3 = 0

Agora usando f (1) = 2 , vamos ter:

f^' (1) (1 + 3 * ( 2 )^2) + 2 * ( 2 )^3 = 0

13 f^' (1) + 16 = 0

E isolando f^' ( 1 ) :

f^' (1) = - (16)/(13)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^' (1) = - (16)/(13)

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Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x^2 y + x y^2 = 6
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x^3 = (2 x - y)/(x + 3 y)
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em y * s e n ((1)/(y)) = 1 - x y
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em y^2 = (x - 1)/(x + 1)