Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^2y + xy^2 = 6

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x 2 y + x y 2 ' = [ 6 ] '

x 2 y ' + x y 2 ' = 0

Aplicando a regra do produto, temos:

x 2 ' y + x 2 y ' + x ' y 2 + x y 2 ' = 0

2 x y + x 2 ⋅ 1 ⋅ d y d x + y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ d y d x = 0

Reorganizando,

d y d x ⋅ x 2 + 2 x y = - 2 x y - y 2

d y d x = - y 2 + 2 x y x 2 + 2 x y

Resposta

d y d x = - y 2 + 2 x y x 2 + 2 x y

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