Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^3 = (2x - y) / (x + 3y)

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Reorganizando a nossa função, obtemos:

x 3 x + 3 y = 2 x - y

Vamos derivar a nossa função:

x 3 x + 3 y ' = [ 2 x - y ] '

Agora, ao invés de aplicarmos a regra do quociente, podemos aplicar a regra do produto. Assim, temos:

x 3 ' x + 3 y + x 3 x + 3 y ' = 2 - d y d x

3 x 2 x + 3 y + x 3 1 + 3 ⋅ d y d x = 2 - d y d x

3 x 3 ⋅ d y d x + d y d x = 2 - x 3 - 3 x 3 - 9 x 2 y

3 x 3 + 1 ⋅ d y d x = 2 - 4 x 3 - 9 x 2 y

d y d x = 2 - 4 x 3 - 9 x 2 y 3 x 3 + 1

Resposta

d y d x = 2 - 4 x 3 - 9 x 2 y 3 x 3 + 1

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