Enunciado

Se g x + x sin ⁡ g x = x 2 , ache g ' ( 0 ) .

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Nesse problema foi dada a equação

g x + x sin ⁡ g x = x 2

E nosso objetivo é determinar g ' 0 .

Parece complicado?

Para resolver esse problema, vamos derivar nos dois lados da igualdade e tentar isolar g ' x em um dos lados e substituir x por 0 .

Porém podemos perceber que vamos cair em uma derivada um pouco diferente por causa do termo x sin ⁡ g x .

Esse termo é um produto de funções de x e dentro do seno ainda tem uma função g x .

Dessa forma, para derivar esse termo temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia já que temos um produto de funções e uma dela é uma função composta.

A regra do produto é dada por

f = g · h ,     f ' = g ' · h + g · h '

Já a regra da cadeia é dada por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos derivar os dois lados da igualdade

d g x + x sin ⁡ g x d x = d x 2 d x

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo

d g x d x + d x sin ⁡ g x d x = d x 2 d x

Primeiro vamos aplicar a regra do produto no termo x sin ⁡ g x ...

d x sin ⁡ g x d x = d x d x · sin ⁡ g x + x · d sin ⁡ g x d x

Agora no termo sin ⁡ g x temos que aplicar a regra da cadeia

d x sin ⁡ g x d x = d x d x · sin ⁡ g x + x · d g x d x · d sin ⁡ g x d g x

Perceba que na derivada de sin ⁡ g x estamos tratando g x como uma variavel...

Substituindo na equação, chegamos em

d g x d x + d x d x · sin ⁡ g x + x · d g x d x · d sin ⁡ g x d g x = d x 2 d x

Agora derivamos pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potencia...

g ' x + 1 · sin ⁡ g x + x · g ' x · cos ⁡ g x = 2 x

g ' x + sin ⁡ g x + g ' x x cos ⁡ g x = 2 x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos tentar isolar g ' x em um lado da igualdade, então tudo que não tem g ' x vamos passar para o lado direito

g ' x + g ' x x cos ⁡ g x = 2 x - sin ⁡ g x

g ' x 1 + x cos ⁡ g x = 2 x - sin ⁡ g x

g ' x = 2 x - sin ⁡ g x 1 + x cos ⁡ g x

Fazendo x = 0 , temos

g ' 0 = 2 0 - sin ⁡ g 0 1 + 0 cos ⁡ g 0

g ' 0 = - sin ⁡ g 0

Para obter uma resposta, temos que saber quanto vale g 0 ...

Fazendo x = 0 na equação do enunciado, temos

g x + x sin ⁡ g x = x 2 → g 0 + 0 sin ⁡ g 0 = 0

g 0 = 0

Logo, substituindo em g ' 0

g ' 0 = - sin ⁡ g 0

g ' 0 = 0

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

g ' 0 = 0

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Determine d y // d x por derivação implícita x ^y = sqrt(2)
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