Enunciado

Ache, com a aproximação de 1 grau, as medidas dos quatro ângulos internos do quadrilátero com vértices em (5,6), (-2,4), (-2,1) e (3,1) e verifique que a soma deles é 360°.

Passo 1

Queremos obter os quatro ângulos do quadrilátero cujos vértices são (5,6), (-2,4), (-2,1) e (3,1).

Para começar, vamos desenhar a situação descrita pelo problema.

Para achar os ângulos do quadrilátero vamos considerar três partes neste desenho:

Agora vamos calcular os ângulos para cada parte separadamente.

Passo 2

Parte 1: Para obter os catetos do triângulo retângulo obtido basta calcularmos ∆y e ∆x. O cateto oposto ao ângulo σ é dado por ∆y:

∆ y = y A - y B = 6 - 1 = 5

O cateto adjacente ao ângulo σ é dado por ∆x:

∆ x = x A - x B = 5 - 3 = 2

Agora precisamos obter os ângulos α e σ que nos ajudarão a descobrir os ângulos na parte interna do quadrilátero.

Para isso vamos utilizar a tangente, que é dada por:

t g = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

Para o ângulo σ:

t g   σ = 5 2

O ângulo é obtido com auxílio de uma calculadora científica, calculando o arco tangente de 5 2 :

σ = 68,2 °

No cálculo de α basta lembrarmos que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°. Então:

σ + α + 90 ° = 180 °

68,2 ° + α + 90 ° = 180 °

α = 21,8 °

Parte 2: Nesta parte temos dois ângulos retos e precisamos obter o ângulo a que faz parte do nosso quadrilátero original.

Sabemos que: a + 68,2 ° = 180 °

a = 111,8 °

Parte 3: Aqui temos outro triângulo retângulo. E precisamos agora obter β e c.

Primeiro, calculamos os catetos do triângulo obtendo ∆y e ∆x. O cateto oposto ao ângulo c é dado por ∆y:

∆ y = y A - y B = 6 - 4 = 2

O cateto adjacente ao ângulo c é dado por ∆x:

∆ x = x A - x B = 5 - ( - 2 ) = 7

Da mesma forma que na parte 1 podemos utilizar a tangente:

t g   c = 2 7

O ângulo é obtido com auxílio de uma calculadora científica, calculando o arco tangente de 2 7 :

c = 15,9 °

No cálculo de β basta lembrarmos que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°. Então:

β + 21,8 + 15,9 ° + 90 ° = 180 °

β = 52,3 °

Passo 3

Calculado os ângulos de cada uma das partes e observando a figura somos capazes de obter os ângulos internos do quadrilátero.

Para o vértice A:

A ^ = 52,3 °

Para o vértice B:

B ^ = 111,8 °

Para o vértice C:

C ^ = 90 °

Para o vértice D:

D ^ = 90 ° + 15,9 ° = 105,9 °

Somando os ângulos:

A ^ + B ^ + C ^ + D ^ = 52,3 ° + 111,8 ° + 90 ° + 105,9 ° = 360 °

Verificando que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°.

Resposta

A ^ = 52,3 °

B ^ = 111,8 °

C ^ = 90 °

D ^ = 105,9 °

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