Enunciado

Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s , em pés.

(a) Encontre a velocidade no instante t .

(b) Qual a velocidade depois de 3   s ?

(c) Quando a partícula está em repouso?

(d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

(e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

(f) Desenhe um diagrama como na Figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

f t = t 4 - 4 t + 1

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha por aí?

Bom, essa questão deu pra gente a função

f t = t 4 - 4 t + 1

Dizendo que uma partícula se move segundo a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , onde t é medido em segundos e s em pés.

E pede pra gente analisar essa função e responder as seguintes perguntas:

a) Encontre a velocidade no instante t .

b) Qual a velocidade depois de 3 s?

c) Quando a partícula está em repouso?

d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?

e) Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

f) Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula.

Eita! Bastante coisa, né? Mas calma. Vamos relembrar algumas coisas importantes aqui:

Quando temos a função que determina a velocidade de uma partícula com o passar do tempo, podemos encontrar a função velocidade derivando a função posição. Isso vai ajudar a gente a resolver todos os itens.

Vamos ver cada um deles no passo a passo. Bora!

Passo 2

Precisamos, no item a) encontrar a velocidade no instante t .

Lembrando que derivada da função posição, é a velocidade, teremos:

v t = d f d t = t 4 - 4 t + 1 '

v t = 4 t 3 - 4

Prontinho. Agora vamos usar essa função velocidade para responder aos outros itens.

Passo 3

No item b) vamos calcular a velocidade depois de 3 s.

Para isso apenas precisamos substituir t = 3 , e calcular. Veja:

v t = 4 t 3 - 4

v 3 = 4 ⋅ 3 3 - 4

v ( 3 ) = 104   p é s / s

Show. Próxima!

Passo 4

Nesse passo, devemos responder, c) Quando a partícula está em repouso.

(c)

A partícula vai estar em repouso quando v ( t ) = 0 .

Assim, basta igualar a função velocidade a zero e resolver a equação. Veja:

4 t 3 - 4 = 0

Colocando o 4 em evidência:

4 t 3 - 1 = 0

E fatorando o t 3 - 1 como uma diferença de cubos, teremos:

4 t - 1 t 2 + t + 1 = 0

Encontrando as raízes de cada fator teremos como única opção real:

4 t - 1 t 2 + t + 1 = 0   ∴ t = 1   s

Essa foi!

Passo 5

Agora vamos dizer no item d) quando a partícula está se movendo no sentido positivo.

A partícula está se movendo no sentido positivo quando v ( t ) > 0 .

E agora o que era uma equação, se torna uma inequação. Veja:

4 t 3 - 1 > 0

Portanto, pelo resultado da letra (c), t > 1 .

Passo 6

E para saber a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos e responder ao item e), basta lembrar que a distância total é dada pela diferença entre os valores até chegar em 8 , vamos lá:

f 8 - f 1 = 8 4 - 4 ( 8 ) + 1 - 1 4 - 4 ( 1 ) + 1

f 8 - f 1 = 4065 - ( - 2 ) = 4067

f 1 - f 0 = 1 4 - 4 ( 1 ) + 1 - 0 4 - 4 ( 0 ) + 1

f 1 - f 0 = - 2 - 1 = 3

Somando esses valores temos que a distância total é 4070   p é s .

Passo 7

E finalmente no item f) O diagrama que representa esse movimento da partícula é:

Prontinho!!

Resposta

(a)   v t = 4 t 3 - 4 ;

(b)   v = 104 f t s ;

(c) t = 1 s ;

(d) t > 1 ;

(e) a distância total é 4070   f t .;

(f) diagrama.

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