Enunciado

Ache a área limitada por (a) o laço da limaçon r = 4 ( 1 + 2 c o s θ ) e (b) a parte externa da limaçon.

Passo 1

Para entender melhor a questão é bom ter uma ideia de como é o gráfico da limaçon.

A região que a questão pede para obter a área é a parte fora do laço e dentro da linha externa do limaçon.

Passo 2

Note que, o laço do limaçon compreende os ângulos entre 2 π 3   e 4 π 3 . Desse modo, temos duas integrais para o cálculo da área.

Mas, observe que a área compreendida entre 0   e 2 π 3 é igual a área compreendida entre 4 π 3   e   2 π . Com isso, o cálculo resume em apenas uma integral.

Passo 3

Sabendo que a área de uma região é dada por:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 d θ .

Aplicando na região dada pela questão, temos:

A = 2 * 1 2   ∫ 0 2 π 3 4 + 8 c o s θ 2 d θ =   ∫ 0 2 π 3 16 + 64 c o s θ   + 64 c o s 2 θ d θ .

Para resolver a integral do cosseno ao quadrado basta fazer uma identidade trigonométrica.

A = ∫ 0 2 π 3 16 + 64 c o s θ + 64 2 1 + c o s 2 θ d θ = 8 θ + 64 s i n θ + 32 θ + s i n 2 θ 2 |   0 2 π 3 = 142.11

Resposta

A = 142.11 u.a

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