Enunciado

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma rosácea visto que ela tem a forma de:

r = a c o s n θ

Além disso, como n é ímpar neste caso, a rosácea terá n pétalas sendo que metade da primeira pétala é formada no intervalo [ 0 ,   π / 6 ] . Com isso, a área total se dará por 2 n

Vezes o resultado obtido (onde n = 3 para este exercício).

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 6 1 2 ∫ 0 π / 6 c o s 3 θ 2 d θ

A = 3 ∫ 0 π / 6 c o s 2 3 θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Então:

A = 3 ∫ 0 π / 6 1 + cos ⁡ 6 θ 2 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 3 θ 2 + s e n 6 θ 12 | π / 6 0

E substituindo os limites de integração:

A = 3 π / 6   2 + s e n π 12

Logo:

A = π 4   u . a .

Resposta

π 4   u . a .

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