Enunciado

Ache a área do maior retângulo tendo 2 vértices no eixo x e os dois outros vértices sobre a parábola y = 9 - x 2 acima do eixo x .

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos começar desenhando que clareia tudo na nossa mente. Temos a parábola indicada:

O problema quer o retângulo com 2 vértices no eixo x e outros dois na parábola. Mais ou menos assim:

Daí já vemos que o nosso domínio será [ - 3 ,   3 ] . Mas vamos considerar x o valor da distancia entre a origem e o ponto do vértice sobre o eixo. Daí ficamos com 0,3 .

Passo 3

Agora que temos uma ideia melhor do que tá acontecendo, vamos equacionar as coisas. Queremos a área desse retângulo, que é dada por:

A x ,   y = 4 x ∙ 2 y

Estamos usando 4 x pois x representa metade de uma das base do retângulo. E a nossa outra restrição é essa parábola:

y = 9 - x 2

Então podemos substituir isso na equação da área e ficar com uma variável só:

A x = 4 x ∙ 2 9 - x 2

A x = 4 x ∙ 18 - 2 x 2

A x = 72 x - 8 x 3

Agora é só derivar essa belezinha e encontrar o seu valor máximo!

Passo 4

Derivando A x :

d A d x = - 24 x 2 + 72

Igualando a 0 :

- 24 x 2 + 72 = 0

24 x 2 = 72

x 2 = 3

Como queremos valores positivos de x :

x = 3

Então o tamanho da base do retângulo será 2 x = 2 3 !

Passo 5

Para achar o valor de sua altura é só substituir o valor de x que encontramos na equação da parábola:

y = 9 - 3 2

y = 6

Então o nosso retângulo tem base 2 3 e altura 6 . Sua área será:

A m á x = 2 3 ∙ 6 = 12 3

Resposta

12 3

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