Enunciado

Sejam f e g duas funções diferenciáveis em todo número no intervalo fechado [a,b]. Suponha, então, que f a = g ( a ) e f b = g ( b ) . Prove que existe um número c no intervalo aberto (a,b); tal que f ' c = g ' ( c ) . (Sugestão: considere a função f - g .)

Passo 1

Primeiro imaginamos duas funções que obedecem ao que o texto mencionou. Por exemplo, se f x = x e g x = x 2 .

Note que, existem dois ponto na qual, f a = g ( a ) e f b = g ( b ) , que neste caso são os ponto x=0 e x=1. Para isso, vamos criar uma função h onde h x = f x - g ( x ) onde se os pontos corresponderem ao mesmo valor h   é 0, e a derivada, h ' vai existir no intervalo (a,b)

Passo 2

Obeserve que, pelo menos uma das funções tem quer ter grau maior ou igual a 2, pois se as duas funções forem lineares não vai existir dois ponto na qual se cruzem, como também uma das fuções tem que ter um grau maior que a outra.

Desse modo, suponhamos duas funções genéricas:

f x = c x 3

g x = d x 2

Onde, a>0, b>0, c>0 e b>d.

Com isso, temos:

h x = c x 3 - d x 2

Passo 3

Dessa maneira, vamos verificar os pontos de igualdade.

h x =   c x 3 - d x 2 = 0

c x 3 = d x 2

x = d c   ,   x = 0

Agora basta derivarmos h, e igualarmos a 0.

h ' x = 3 c x 2 - 2 d x = 0

3 c x 2 = 2 d x

x = 2 d 3 c , x = 0

Note que, 0 < 2 d 3 c < d c , desse modo, existe um número c pertencente ao intervalo aberto (a,b) tal que f ' c = g ' ( c ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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